Պարապմունք 58

Թեմա՝ Քառակուսային հավասարումների կիրառությունը խնդիրներ լուծելիս։

Երբեմն ոչ թե պատրաստի թվային տեսքով է հանդես գալիս քառակուսային (քառակուսի) հավասարումը՝ x²-10x+7=0, այլ պարզապես խնդրի պայմաններից է այն բխում և խնդրի լուծման համար անհրաժեշտ է լինում լուծել քառակուսի հավասարում։

Օրինակ․՝ “Գտնել երկու թվեր, եթե գիտենք, որ դրանց գումարը
հավասար է 20-ի, իսկ արտադրյալը՝ 96”։

Լուծում՝ Թվերից մեկը նշանակենք x-ով, իսկ մյուսը կլինի՝ 20-x, այդ դեպքում կունենանք, որ x (20-x)=96,բացելով փակագծերը, կստանանք քառակուսային հավասարում 20x-x²=96, ձևափոխելով՝ x²-20x+96=0 և լուծելով հավասարումը, կունենանք։ Այսինքն, պատասխանը կլինի 8 և 1
Առաջդրանքներ։

1․ Լուծել խնդիրը․

x (10 — x) = 21,
10x — x² — 21 = 0,
x² — 10x + 21 = 0,
x¹ = 3, x² = 7.

2․ Լուծել խնդիրները քառակուսային հավասարումների օգնությամբ։

ա) x (x + 1) = 110,
x² + x — 110 0,
x¹ = -11, x² = 10,
Պատ՝. 10, 11:

բ) x (x + 1) = 210,
x² + x — 210 = 0,
x¹ = 14, x² = -15,
Պատ՝. 14, 15.

գ) x (x + 7) = 44,
x² + 7x — 44 = 0,
x¹ = -11, x² = 4,
Պատ՝. 11, 4.

դ) x (x — 12) = 448,
x² — x — 448 = 0,
x¹ = 28, x² = -16,
Պատ՝. 28, 16.

3․ Լուծել խնդիրները․

ա) x² + (20 — x)² = 218,
x² + 400 — 40x + x² — 218 = 0,
2x² — 40x + 182 = 0,
x² — 20x + 91 = 0,
x¹ = 13, x² = 7.

բ) x² + (-2 — x)² = 34,
x² + 4 + 4x — x² — 34 = 0,
2x² + 4x — 30 = 0,
x² + 3x — 15 = 0,
x¹ =3, x² = -5.

Պարապմունք 57

Թեմա՝ Վիետի թեորեմը։

Առաջադրանքներ։

1․ Լուծել քառակուսային հավասարումները ըստ Վիետի թեորեմի։

ա) x¹ = 2, x² = 4.
բ) x¹ = -3, x² = 5.
գ) x¹ = -2, x² = -4.
դ) x¹ = 3, x² = -5.
ե) x¹ = -17, x² = -3.
զ) x¹ = 23, x² = -1.
է) x¹ = 23, x² = -3.
ը) x¹ = -1, x² = -21.

2․ Հայտնի է, որ x²+17x+42=0 հավասարման արմատները ամբողջ թվեր են: Վիետի թեորեմի միջոցով գտիր դրանք: Արմատները գրիր նվազման կարգով:

x¹ = -14, x² = -3.

3․ Կազմիր քառակուսային հավասարում, որի արմատներն են x₁=−1;x₂=−12 թվերը, ընդ որում, a=1

x² + 13x + 12 = 0.

4․ Հայտնի է, որ բերված տեսքի քառակուսային հավասարման արմատները x₁=−8;x₂=−14 թվերն են: Ո՞րն է այդ հավասարումը:

x² + 22x + 112 = 0.

5․ x²+px+114=0 հավասարման արմատներից մեկը  x₁=6 -ն է: Գտիր երկրորդ արմատը և p գործակիցը:x

x² + 25x + 114 = 0.

Պարապմունք 56

Թեմա՝ Վիետի թեորեմը։

Ֆրանսուա Վիետ՝ (1540 -1603) ֆրանսիացի մաթեմատիկոս, կրթությամբ իրավաբան:

Այս թեորեմի միջոցով լուծում են քառակուսային հավասարումներ:Առավել հարմար է Վիետի թեորեմը կիրառել բերված տեսքի հավասարումների (երբ a=1)։

 Եթե x²+px+q=0 բերված տեսքի քառակուսային հավասարման տարբերիչը ոչ բացասական է, ապա՝ {x₁⋅x₂=q x₁+x₂=−p, որտեղ x₁ -ը և x₂ -ը x²+px+q=0 հավասարման արմատներն են:

Օրինակ՝ Լուծենք հետևյալ հավասարումը:

x²−14x+40=0,{x₁⋅x₂=40 x₁+x₂=14 x₁=10,x₂=4

Վիետի թեորեմը տեղի ունի նաև ընդհանուր դեպքում, երբ a≠1

Եթե ax²+bx+c=0 քառակուսային հավասարման տարբերիչը ոչ բացասական է ապա՝ 

{x₁⋅x₂=c/a x₁+x₂=−b/a, որտեղ x₁ -ը և x₂ -ը ax²+bx+c=0 հավասարման արմատներն են:Իրոք, ընդհանուր դեպքը գալիս է բերված տեսքի դեպքին, եթե հավասարումը բաժանել a -ի վրա՝

ax²+bx+c=0∣:a a/ax²+b/ax+c/a=0⇒x²+b/ax+c/a=0 {x₁⋅x₂=c/a x₁+x₂=−b/a

Օրինակ՝  Վիետի թեորեմի օգնությամբ լուծենք հավասարումը:

12x²+x−1=0 12/12x²+1/12x−1/12=0⇒x²+1/12x−1/12=0 ⎨x₁⋅x₂=−1/12 x₁+x₂=−1/12 x₁=−1/3 x₂=1/4

Վիետի թեորեմի օգնությամբ, կարելի է կազմել քառակուսային հավասարումը, եթե հայտնի են նրա արմատները:

Օրինակ՝ Ո՞ր հավասարման արմատներն են 2 և −0,3 թվերը:

x²+px+q=0 2+(−0,3)=1,7=−p 2⋅(−0,3)=−0,6=q Պատասխան՝ x²−1,7x−0,6=0 

Առաջադրանքներ։

1․Պարզել՝ հավասարումն արմատներ ունի՞ (եթե ունի, գտնել նրանց գումարը և արտադրյալը)

ա) Արմատ չունի:
բ) Արմատ չունի:
գ) x¹ + x² = -3, x¹ × x² = -2.
դ) x¹ + x² = 3, x¹ × x² = 2.
ե) x¹ + x² = 2, x¹ × x² = 1.
զ) x¹ + x² = -4, x¹ × x² = 4.

2․ Կազմել բերված քառակուսային հավասարում, եթե հայտնի են նրա արմատների L գումարը և K արտադրյալը

ա) x² — 3x — 28 = 0.
բ) x² + 3x — 18 = 0.
գ) x² + 3,5x + 2,5 = 0.
դ) x² — 5/6x + 1/6 = 0.
ե) x² — 0 — 9 = 0.
զ) x² — 4x + 4 = 0.

3․ Կազմել բերված տեսքի քառակուսային հավասարում, եթե հայտի են նրա արմատները․

ա) x² — 6x + 5 = 0.
բ) x² — 1x + -6 = 0.
գ) x² — 10x + 24 = 0.
դ) x² — 9x + 18 = 0.
ե) x² — 4,5x + 2 = 0.
զ) x² + 3,8x — 6 = 0.
է) x² — 0x — 1 = 0.
ը) x² — 10x + 25 = 0.

4․ Լուծել հավասարումներն ըստ Վիետի թեորեմի․

ա) x¹ = 2, x² = 4.
բ) x¹ = -2, x² = -3.
գ) x¹ = -1, x² = 2.
դ) x¹ = 2, x² = -3.

5․Լուծել հավասարումներն ըստ Վիետի թեորեմի․

ա) x¹ = -3, x² = 5.
բ) x¹ = -1, x² = -9.
գ) x¹ = -4, x² = 2.
դ) x¹ = 7, x² = 5.

Ապրիլ ամսվա հաշվետվություն

Ֆլեշմոբի ստուգում, աշխատանք

Մեկօրյա ճամփորդություն » Դեպի Լանջաղբյուր«։

Հանրահաշիվ 7 դասարան

Ուղիղ համեմատականություն։

Հակադարձ համեմատականություն։

Ֆունկցիայի սահմանումը, պարզագույն օրինակներ։

Կոորդինատային հարթություն։

Կոորդինատային հարթություն թեմայի ամրապնդում։

Սյունակային դիագրամներ և գրաֆիկներ։

Երկրաչափություն 7 դասարան

Ուղղանկյուն եռանկյունների հավասարության հայտանիշները։ Ուղղանկյուն եռանկյունների հավասարության հայտանիշները թեմայի ամրապնդում։

Կետի հեռավորությունը ուղղից։

Հատվածի միջնուղղահայացը և անկյան կիսորդի հատկությունները։

Զուգահեռ ուղիղների հեռավորությունը։

Բեկյալի երկարությունը։

Պատկերացում քառանիստի մասին։

Реклама

Հանրահաշիվ 8 դասարան

Թվաբանական քառակուսի արմատների հատկությունները։ Թվաբանական քառակուսի արմատների հատկությունները թեմայի ամրապնդում։

Պարզագույն իռացիոնալ հավասարումների լուծումը։ Պարզագույն իռացիոնալ անհավասարումների լուծումը։

Քառակուսային եռանդամի վերլուծումըգծային արտադրիչների։ Քառակուսային հավասարման գաղափարը։ Թերի քառակուսային հավասարումներ։

Ընդհանուր տեսքի քառակուսային հավասարման լուծումը։

Երկրաչափություն 8 դասարան

Եռանկյան մակերեսը թեմայի ամրապնդում։

Սեղանի մակերեսը։

Սեղանի մակերեսը թեմայի ամրապնդում։

Խորանարդի և ուղղանկյունանիստի մակերևույթների մակերեսները։ Պյութագորասի թեորեմը։

Պյութագորասի թեորեմը թեմայի ամրապնդում։

Պյութագորասի թեորեմի հակադարձ թեորեմը։

Պարապմոնք 55

Թեմա՝ Բերված տեսքի քառակուսային հավասարումներ:

Առաջադրանքներ։

1․ Լուծել հավասարումները․

ա) x = 2, x = 4:
բ) x = 5, x = -3:
գ) x = 4, x = 2:
դ) x = 5, x = -3:
ե) x = -3, x = -17:
զ) x = 23, x = -1:
է) x = -10 + √31 , x = -10 — x √31:
ը) x = 1, x = -21:

2․ Լուծել հավասարումները․

ա) x = 2;
բ) Դատարկ բազմություն:
գ) x = 2, x = 0,5:
դ) x = 1/3:
ե) x = -4, x = -12:
զ) x = 11, x = -2:
է) դատարկ բազմություն:
ը)դատարկ բազնություն:

3․ Լուծել հավասարումները․

ա) x = -1 + √17/2, x = 1 — √17/2:
բ) x = 8, x = -3:
գ) x = 2, x = 1:
դ) x = 7, x = 6:
ե) x = 6, x = -4:
զ) x = 6, x = -4:
է) x = -3, x = -8:
ը) x = 11, x = -6:

Պարապմունք 54

Թեմա՝ Ընդհանուր տեսքի քառակուսային հավասարումներ։

ax²+bx+c=0 տեսքի հավասարումը, որտեղ a -ն, b -ն և c -ն իրական թվեր են, և a≠0, կոչվում է քառակուսային հավասարում:

Քառակուսային հավասարման արմատները հաշվում են հետևյալ բանաձևերով՝

x₁=−b+√D/2⋅a,  x₂= −b−√D/2⋅a, որտեղ D=b²−4ac

D -ն անվանում են քառակուսային հավասարման  տարբերիչ  կամ դիսկրիմինանտ: 

Քառակուսային հավասարման արմատների գոյության հարցը և դրանց քանակը կախված D տարբերիչի արժեքից:

1) Եթե D<0 (բացասական է), ապա քառակուսային հավասարումը արմատներ չունի:

2) Եթե D=0, ապա քառակուսային հավասարումն ունի ճիշտ մեկ արմատ:

3) Եթե D>0 (դրական է), ապա քառակուսային հավասարումն ունի երկու իրարից տարբեր արմատներ:   

Օրինակ՝ Լուծենք հետևյալ քառակուսային հավասարումները՝

1) 3x²−5x+4=0

2)25x²−10x+1=0

3) x²−6x+5=0զ

4) 2x²−4x−3=0

Լուծումներ:

1) Հաշվենք 3x²−5x+4=0 հավասարման տարբերիչը՝ D=5²−4⋅3⋅4=25−48=−23<0

Պատասխան՝ հավասարումը արմատներ չունի:

2)Հաշվենք 25x²−10x+1=0 հավասարման տարբերիչը՝ D=10²−4⋅1⋅25=100−100=0

Հավասարումն ունի մեկ արմատ՝ x=−(−10)+√0/2⋅25=10/50=1/5=0.2

Պատասխան՝ x=0.2

3) Հաշվենք x²−6x+5=0 հավասարման տարբերիչը՝  D = (−6)² −4 ⋅1⋅5 =36−20=16>0

Հավասարումն ունի երկու արմատ՝ x_1,2=−(−6)±√16/2=6±4/2

Պատասխան՝ x₁=5,x₂=1

4) Հաշվենք 2x²−4x−3=0 հավասարման տարբերիչը՝ D=4²−4⋅(−3)⋅2=16+24=40>0 Հավասարումն ունի երկու արմատ՝ x_1,2=−(−4)±√40/2⋅2=4±√4⋅10/2=2±√10

Ուշադրություն

Եթե թվերն արմատի տակից դուրս չեն գալիս, դա չի նշանակում, որ հավասարումը լուծում չունի: Այդ դեպքում արմատներն իռացիոնալ թվեր են:

Առաջադրանքներ։

1․ Լուծել հավասարումները․

1) x = 0, x = -3.
2) x = 0,5.
3) x = ±2.
4) x = 3, x = 2.
5)x = 3 + √33/12, x = 3 — √33/12.
6) x = 02. x = -3.

2․Լուծել հավասարումները․

1) x = 1,5. x = -0,5.
2) x = 12 + √204/18, x = 12 — √204 /18.
3) x = 3, x = 0,5.
4) x = 3/4, x = -1.
5)
6)
7)
8)

3․ Լուծել հավասարումները․

1) x = -1, x = -1,5.
2) x = 3.
3) x = -1, x = -4.
4) Լուծում չունի.
5) x = 18, x = -2.

4․ Լուծել հավասարումները․

1) x = 3, x = 1,5.
2) x = 3, x = 2,3.
3) x = 1, x = -4/3.
4) x = 2, x = -2,5.

Պարապմունք 53

Թեմա՝ Քառակուսային հավասարման գաղափարը։ Թերի քառակուսային հավասարումներ։

ax2+bx+c=0 տեսքի հավասարումը, որտեղ a -ն, b -ն և c -ն տրված թվեր են, և a≠0, անվանում են քառակուսային (քառակուսի) հավասարում:

Օրինակ

2x²+3x−8=0, −3x²+2x+1=0, x²+5x=0, 2x²−4=0, 25x²=0 հավասարումները քառակուսային հավասարումների օրինակներ են:

a թիվն անվանում են ավագ անդամի՝ x² -ու գործակից, b թիվը՝ x -ի գործակից, c -ն՝ ազատ անդամ:

Քանի որ a≠0, ապա ցանկացած քառակուսային հավասարում ունի ax² ավագ անդամը: Այդ պատճառով քառակուսային հավասարումն անվանում են նաև երկրորդ աստիճանի հավասարում:

Քառակուսային հավասարման ուսումնասիրման հարցերում կարևոր դեր է խաղում հետևյալ թիվը՝ D=b²−4ac

D=b²−4ac թիվն անվանում են ax²+bx+c=0  քառակուսային  հավասարման  տարբերիչ  կամ՝  դիսկրիմինանտ:

Օրինակ

1) 2x²−3x−5=0 հավասարման մեջ a=2 -ը x² -ու գործակիցն է, b=−3 -ը՝ x -ի գործակիցը, իսկ c=−5 -ը՝ ազատ անդամը: Հաշվենք տարբերիչը` D=(−3)²−4⋅2⋅(−5)=9+40=49

Реклама

2) x²−7=0 հավասարման մեջ b=0, այդ պատճառով էլ չկա x պարունակող անդամը: x² -ու գործակիցը a=1 -ն է, իսկ ազատ անդամը՝ c=−7: Տարբերիչը հավասար է՝ D=−4⋅(−7)=28

Հիշենք, որ

x անհայտով հավասարման արմատ կամ լուծում անվանում են այն թիվը, որը հավասարման մեջ x -ի փոխարեն տեղադրելով ստացվում է ճիշտ թվային հավասարություն: 

Լուծել հավասարումը՝ նշանակում է գտնել նրա բոլոր արմատները կամ ցույց տալ, որ արմատներ չկան: 

Ուշադրություն

Եթե ax²+bx+c=0 տեսքի հավասարման մեջ a=0, այսինքն, չկա x2 պարունակող անդամը, ապա հավասարումը քառակուսային չէ:

Վերջին երեք օրինակներում a≠0 (այսինքն, դրանք քառակուսային հավասարումներ են), սակայն՝

x²+2x=0 հավասարման մեջ c=0

2x²−6=0 հավասարման մեջ b=0

12x²=0 հավասարման մեջ երկուսն էլ զրո են՝ b=0, c=0

Այս օրինակներում բերվածները կոչվում են թերի հավասարումներ:

Քառակուսային հավասարումը կոչվում է թերի, եթե b և c թվերից գոնե մեկը հավասար է զրոյի:

Օրինակ

Լուծենք հետևյալ թերի հավասարումները՝

1) x²+3x=0

x²+3x=0 x(x+3)=0 x=0 x=−3

Պատասխան՝ x=0,x=−3

2) 2x²−8=0

2x²−8=0 x²−4=0 (x−2)(x+2)=0 x₁=2 x₂=−2

Պատասխան՝ x₁=2,x₂=−2

3) 7x²=0

7x²=0 x²=0 x=0

Պատասխան՝ x=0

Հարցեր և առաջադրանքներ։

1․ Ո՞ր հավասարումն է կոչվում քառակուսային։

ax2+bx+c=0 տեսքի հավասարումը, որտեղ a -ն, b -ն և c -ն տրված թվեր են, և a≠0, անվանում են քառակուսային (քառակուսի) հավասարում:

2․ Ինչպե՞ս են հաշվում քառակուսային հավասարման տարբերիչը։

 D=b2−4ac:

3․ Ո՞ր հավասարումն է կոչվում թերի քառակուսային։

Քառակուսային հավասարումը կոչվում է թերի, եթե b և c թվերից գոնե մեկը հավասար է զրոյի:

4․ Կազմել ax²+bx+c=0 քառակուսային հավասարում, եթե նրա գործակիցները հավասար են․

ա) 3x² + 4x + 5 = 0.
բ) 3x² — 2x + 6 = 0.
գ) x² — x + 2 = 0.
դ) -x² + 3x — 2 = 0.

5․ Հաշվել քառակուսային հավասարման տարբերիչը․

ա) 2x² — 3x — 5 = 0.
D = (-3²) — 4 × 2 × (-5) = 9 + 40 = 49.

բ) x² = 5x + 1.
D = 5² — 4 × 1 × 1 = 21.

գ) 9x² — 6x + 1 = 0.
D = (-6²) — 4 × 9 × 1 = 36 — 36 = 0.

դ) x² + x + 1 = 0.
D = 1² — 4 × 1 × 1 = 1 — 4 = -3.

6․ Ստուգել՝ 0 թիվը հավասարման արմա՞տ է․

ա) Այո:
բ) Ոչ:
գ) Ոչ:
դ) Ոչ:
ե) Այո:
զ) Ոչ:

Լուծել հավասարումները․

ա) x = 1, x = -1.
բ) x = 0.
գ) x = 0, x = 1.
դ) x = 0, x = -3.
ե) x = 3, x = -2.
զ) x = -5, x = 7.
է) x = 0, x = 0,5.
ը) x = 0, x = -2.
թ) x = 8, x = -5.
ժ) x = -1, x = 4.

7․ Լուծել հավասարումները․

ա) x = 0, x = 4.
բ) x = 0, x = -6.
գ) x = 0, x = -1/3.
դ) x = 0, x = 0,5.
ե) x = 0, x = -3.
զ) x = 0, x = 2.
է) x = 0, x = 5/7.
ը) x = 0, x = 3/11.
թ) x = 0, x = 6.

8․ Լուծել հավասարումները․

ա) x = ±√3.
բ) x = ±√5.
գ) x = ±√3.
դ) x = ±√50.
ե) x = ±√3/2.
զ) Դատարկ բազմություն:
է) x = ±48.
ը) x = ±5, 6.
թ) x = ±200.

Պարապմունք 52

Թեմա՝ Քառակուսային եռանդամի վերլուծումը արտադրիչների։

ax²+bx+c տեսքի բազմանդամը, որտեղ a -ն, b -ն և c -ն տրված թվեր են, և a≠0, անվանում են քառակուսային եռանդամ:

Օրինակ՝ x²+4x−6, 2x²−5x+7, x²+6x, 4x²−8, 9x²  բազմանդամները քառակուսային եռանդամների օրինակներ են:

a թիվը անվանում են ավագ անդամի՝  x² -ու գործակից, b թիվը՝  x -ի գործակից, c -ն՝ ազատ անդամ:

Քառակուսային եռանդամի ուսումնասիրման հարցերում խիստ կարևոր դեր է խաղում հետևյալ թիվը՝ D=b²−4ac

D=b²−4ac թիվն անվանում են ax²+bx+c քառակուսային եռանդամի  տարբերիչ կամ՝ դիսկրիմինանտ:

Քառակուսային եռանդամների ուսումնասիրման ամենակարևոր հարցերից են դրանց արտադրիչների վերլուծումը և ax²+bx+c=0 հավասարման լուծումը:

1) Եթե D>0, ապա քառակուսային եռանդամը վերլուծվում է երկու իրարից տարբեր գծային արտադրիչների: 

2) Եթե D=0, ապա քառակուսային եռանդամը վերլուծվում է երկու իրար հավասար գծային արտադրիչների: 

3) Եթե D<0, ապա եռանդամը չի վերլուծվում արտադրիչների:

ax²+bx+c=a⋅(x−x₁)(x−x₂), որտեղ՝

Օրինակ`

1) Վերլուծենք արտադրիչների 2x²−3x+1 եռանդամը:  

Հաշվենք D=b²−4ac տարբերիչը՝ D=(−3)²−4⋅2⋅1=9−8=1>0

Ըստ բանաձևերի՝ x₁=(3+√1)/2⋅2=1, x₂=(3-√1)/2⋅2=1/2

Հետևաբար՝ 2x²−3x+1=2(x−1)(x−1/2)

2) Դիտարկենք x²+8x+16 եռանդամը:

Հաշվենք եռանդամի տարբերիչը՝ D=8²−4⋅1⋅16=64−64=0

Այն հավասար է զրոյի հետևաբար, եռանդամը վերլուծվում է երկու իրար հավասար  արտադրիչների: Դա կարելի է անել, օրինակ այսպես՝

x²+8x+16=x²+2⋅x⋅4+4²=(x+4)²=(x+4)(x+4)=(x+4)²

Կիրառեցինք քառակուսիների գումարի բանաձևը:

3) Դիտարկենք x²+4x+5 եռանդամը:

Հաշվենք եռանդամի տարբերիչը՝ D=4²−4⋅1⋅5=16−20=−4<0

Այն բացասական է, հետևաբար, եռանդամը չի վերլուծվում արտադրիչների: 

Հարցեր և առաջադրանքներ։

1․ Ո՞ր բազմանդամն են անվանում քառակուսային եռանդամ։

ax2+bx+c տեսքի բազմանդամը, որտեղ a -ն, b -ն և c -ն տրված թվեր են, և a≠0, անվանում են քառակուսային եռանդամ:

2․ Ինչի՞ է հավասար քառակուսային եռանդամի տարբերիչը։

=b2−4ac թիվն անվանում են ax2+bx+c քառակուսային եռանդամի  տարբերիչ կամ՝ դիսկրիմինանտ:

3․ Հետևյալ արտահայտություններից ո՞րն է հանդիսանում քառակուսային եռանդամ: Ընտրիր ճիշտ պատասխանի տարբերակը:

ա) 14x²−3x−1
բ) 4x−5
գ) x+5/2x−3

4․ Արդյո՞ք բազմանդամը քառակուսային եռանդամ է․

ա)Ոչ:
բ)Ոչ:
գ)Ոչ:
դ)Ոչ:

5․ a-ի ի՞նչ արժեքի դեպքում է բազմանդամը քառակուսային եռանդամ․

ա) a = 0:
բ) a ≠ 1:
գ) Գոյություն չունև:
դ) (-○○,+○○):

6․ Նշել քառակուսային եռանդամի ավագ, միջին և ազատ անդամները։

ա)

ավագ անդամ — x²:
միջին անդամ — 3x:
ազատ անդամ — 1:
բ)

ավագ անդամ — x²:
միջին անդամ — 0:
ազատ անդամ — 1:

գ)

ավագ անդամ — x²:
միջին անդամ — x:
ազատ անդամ — 2:

դ)

ավագ անդամ — 2x²:
միջին անդամ — 0:
ազատ անդամ — 3x:

ե)

ավագ անդամ — 3:
միջին անդամ — x:
ազատ անդամ — x²:

զ)

ավագ անդամ — -x:
միջին անդամ — 0:
ազատ անդամ — x²:

է)

ավագ անդամ — x:
միջին անդամ — 4:
ազատ անդամ — 2x²:

ը)

ավագ անդամ — 10:
միջին անդամ — 0:
ազատ անդամ — x²:

7․ Կազմել քառակուսային եռանդամ տված գործակիցներով։

ա) 3x² + 4x + 5:
բ) 3x² -2x + 6:
գ) x² — x + 2:
դ)-x² + 3x — 2:

8․ Գրել քառակուսային եռանդամի a, b և c գործակիցները․

ա)

a = 6:
b = 1:
c = -2:

բ)

a = 1:
b = 1:
c = 7:

գ)

a = -5:
b = 2:
c = -1:

դ)

a = -1:
b = 1:
c = 1:

9․ Առանձնացնել լրիվ քառակուսին․

գ) = (x — 4)² + 1,
դ) = (x + 2)²,
ե) = (x + 2,5)² — 12,25,
զ) = (x — 1,5)² — 0,25,
է) = 2(x — 2)² — 0,5,
ը) = 4(x — 1 — 0,5)² = 0,5.

10․ Հաշվել քառակուսային եռանդամի տարբերիչը․

ա) 1,
բ) 1,
գ) 49,
դ) 49,
ե) 20,
զ) 0,
է) 0,
ը) 1,
թ) -8.

Պարապմունք 51

Թեմա՝ Պարզագույն իռացիոնալ անհավասարումներ։

Եթե անհավասարման անհայտը գտնվում է քառակուսի արմատի նշանի տակ, ապա  այդպիսի անհավասարումը անվանում են իռացիոնալ: 

Սովորենք լուծել պարզագույն իռացիոնալ հավասարումները: Պարզագույն իռացիոնալ անհավասարումներն են՝ √x<a և √x>a, որտեղ a -ն տրված իրական թիվ է:

Դիտարկենք √x<a անհավասարումը:

1) Եթե a≤0, ապա թվաբանական քառակուսի արմատի սահմանման համաձայն, անհավասարումը լուծում չունի:

2) Եթե a>0, ապա պետք է անհավասարումը բարձրացնել քառակուսի և պահանջել, որ արմատն իմաստ ունենա (արմատատակ թիվը լինի ոչ բացասական): Եկանք հետևյալ համակարգին՝

Որպես պատասխան ստանում ենք հետևյալ կրկնակի անհավասարումը՝ 0≤x<a²

Դիտարկենք √x>a անհավասարումը:

1) Եթե a<0, ապա ձախից ոչ բացասական թիվ է, իսկ աջից՝ բացասական: Անհավասարումը միշտ ճիշտ է, եթե արմատն իմաստ ունի:

Հետևաբար այս դեպքում անհավասարման պատասխանը ԹԱԲ -ն է՝ [0;+∞)

2) Եթե a≥0, ապա պետք է անհավասարումը բարձրացնել քառակուսի և պահանջել, որ արմատն իմաստ ունենա (արմատատակ թիվը լինի ոչ բացասական): Գալիս ենք հետևյալ համակարգին՝

Որպես պատասխան ստանում ենք հետևյալ անհավասարումը՝ x>a²

Նման ձևով վարվելով՝ կարելի է լուծել պարզագույն ոչ խիստ անհավասարումները:

√x ≤a անհավասարման դեպքում գալիս ենք հետևյալ եզրակացություններին:

1) Եթե a<0, լուծում չկա: 

2) Եթե a≥0, ապա x∈[0;a2]

√x ≥ a անհավասարման դեպքում գալիս ենք հետևյալ եզրակացություններին:

1) Եթե a<0, պատասխանը ԹԱԲ -ն է՝ [0;+∞)

2) Եթե a≥0, ապա x∈[a2;+∞)

Օրինակ

Լուծենք √2x−1<3 իռացիոնալ անհավասարումը:

1) Սկզբում գտնենք ԹԱԲ -ը՝ 2x−1≥0

2) Երկու մասերը բարձրացնենք քառակուսի՝ (√2x−1)²❤²

3) Եկանք հետևյալ համակարգին՝

4) Լուծենք ստացված համակարգը՝

5) Պատասխանը ստացված բազմությունների հատումն է՝ x∈[0.5;5)

Առաջադրանքներ։

1․Լուծել անհավասարումները;

233. (4, +○○),
234. [0, 9],
235. [0, 4),
236. (9, +○○)
237. 0,
238. (64, +○○),
239. [0, +○○),
240. [0, 16],
241. [0, 49),
242. [0, +○○),
243. (81, +○○),
244. (7, +○○),
245. [2, +○○),
246. [2, 7),
247. Դատարկ բազմություն:
248. 3,
249. Դատարկ բազմություն:
250. (-8/3, +○○ ),
251. [4, +○○),
252. [-3, -1),
253. [1, 11/7],
254. (11/3, +○○),
255. Դատարկ բազմություն:
256. Դատարկ բազմություն:
257. (31/2, +○○),
258. [4, 8],
259. 9,
260. [4, 16),
261. [2, +○○),
262. [4/3, 1.5),
263. (8/13, +○○),
264. Դստարկ բսզմություն:
265. [4/3, +○○),
267. (10/3, 6],
268. Դատարկ բազմություն:

2․ Լուծել անհավասարումները։

275. Դատարկ բազմություն,
276. x = 4,
277. [-0.5, 2],
278. x = 4/3:

Պարապմունք 50

Թեմա` Պարզագույն իռացիոնալ հավասարումների լուժումը:

Եթե հավասարման անհայտը գտնվում է քառակուսի արմատի նշանի տակ, ապա այդպիսի հավասարումը անվանում են իռացիոնալ: 

Կյանքի շատ իրավիճակներ նկարագրվում են իռացիոնալ հավասարումներով: Ուստի, սովորենք լուծել գոնե պարզագույն իռացիոնալ հավասարումները:

Դիտարկենք 

Եթե հավասարման անհայտը գտնվում է քառակուսի արմատի նշանի տակ, ապա այդպիսի հավասարումը անվանում են իռացիոնալ: 

Կյանքի շատ իրավիճակներ նկարագրվում են իռացիոնալ հավասարումներով: Ուստի, սովորենք լուծել գոնե պարզագույն իռացիոնալ հավասարումները:

Դիտարկենք √2x+1=3 իռացիոնալ հավասարումը:

Ըստ քառակուսի արմատի սահմանման, այն նշանակում է, որ 2x+1=3²: Փաստորեն, քառակուսի բարձրացնելով, տրված իռացիոնալ հավասարումը բերեցինք 2x+1=9 գծային հավասարմանը:

Ուշադրություն

Քառակուսի բարձրացնելը իռացիոնալ հավասարումների լուծման հիմնական եղանակն է:

Դա բնական է, եթե պետք է ազատվել քառակուսի արմատի նշանից:

2x+1=9 հավասարումից ստանում ենք՝ x=4: Սա միաժամանակ  2х+1=9 գծային  և √2x+1=3  իռացիոնալ հավասարումների արմատն է:

Քառակուսի բարձրացնելու եղանակը տեխնիկապես բարդ չէ իրականացնել, սակայն երբեմն այն բերում է անցանկալի իրավիճակների:

Օրինակ

Դիտարկենք √2x−5=√4x−7 իռացիոնալ հավասարումը:

Երկու մասերը բարձրացնելով քառակուսի, ստանում ենք՝ (√2x−5)²=(√4x−7)² 2x−5=4x−7

Լուծելով ստացված 2x−4x=−7+5 հավասարումը, ստանում ենք x=1

Սակայն x=1, որը 2x−5=4x−7 գծային հավասարման արմատն է, չի բավարարում տրված իռացիոնալ հավասարմանը: Ինչո՞ւ: Իռացիոնալ հավասարման մեջ  փոխարեն տեղադրենք 1: Կստանանք՝ √−3=√−3

Հավասարումը բնականաբար չի բավարարվում, քանի որ հավասարության ձախ և աջ մասերը իմաստ չունե

Ստացել ենք ավելորդ արմատ: Այսպիսի իրավիճակներում ասում ենք, որ x=1 -ը թույլատրելի արժեք չէ, կամ չի պատկանում թույլատրելի արժեքների բազմությանը: Դուրս եկավ, որ այս դեպքում, իռացիոնալ հավասարումը արմատ չունի, մինչդեռ քառակուսի բարձրացնելուց ստացված գծային հավասարումը արմատ ուներ:

Պետք է այսպիսի ավելորդ արմատները ժամանակին հայտնաբերել և չընդգրկել լուծումների մեջ՝ դեն նետել: Դա արվում է ստուգման միջոցով: 

Իռացիոնալ հավասարումների համար, ստուգումը լուծման անհրաժեշտ փուլ է, որը օգնում է հայտնաբերել և դեն նետել ավելորդ արմատնելը: 

Ուշադրություն

Այսպիսով, իռացիոնալ հավասարումը լուծելու համար պետք է՝

1) այն բարձրացնել քառակուսի,

2) լուծել ստացված հավասարումը,

3) կատարել ստուգում՝ դեն նետելով ավելորդ արմատները,

4) գրել վերջնական պատասխանը:

Կիրառելով այս եզրակացությունը, դիտարկենք հետևյալ օրինակը:

Օրինակ

Լուծենք √5x−16=2 հավասարումը:

1) Երկու մասերը բարձրացնենք քառակուսի՝ (√5x−16)²=2²

2) Լուծենք ստացված հավասարումը՝

5x−16=4 5x=20 x=4

3) Կատարենք ստուգում: √5x−16=2 հավասարման մեջ տեղադրենք x=4: Ստանում ենք՝ √4=2 ճիշտ հավասարությունը:

4) Պատասխան՝ √5x−16=2 հավասարման լուծումը x=4 -ն է:

Հարցեր և առաջադրանքներ։

1․Ո՞ր հավասարումներն են կոչվում իռացիոնալ։

Եթե հավասարման անհայտը գտնվում է քառակուսի արմատի նշանի տակ, ապա այդպիսի հավասարումը անվանում են իռացիոնալ: 

2․ Ինչպե՞ս են լուծում պարզագույն իռացիոնալ հավասարումները։

Այսպիսով, իռացիոնալ հավասարումը լուծելու համար պետք է՝
1) այն բարձրացնել քառակուսի,
2) լուծել ստացված հավասարումը,
3) կատարել ստուգում՝ դեն նետելով ավելորդ արմատները,
4) գրել վերջնական պատասխանը:

3․ Լուծել հավասարումները։

ա) x = 9,
բ) x = 0,
գ) Դատարկ բազմություն:
դ) x = 0.5,
ե) x = 0.5,
զ) x = -1,
է) x = 44/3,
ը) x = 48/5,
թ) x = 7.

4․ Լուծել հավասարումները։

ա) x = 1/3,
բ) x = -1/4,
գ) x = -2,
դ) x = -10,
ե) x = 8/5,
զ) x = -1/4.

5․ Լուծել հավասարումները․

249. x = 4,
250. x = 9,
251. x = 25,
252. x = -4,
253. x = 0,
254. x = 81,
255. x = 64,
256. x = դատարկ բազմություն:
257. x = 25,
258. x = 0,
259. x = դատարկ բազմություն:
260. x = 25,
261. x = 6,
262. x = 20,
263. x = 6,
264. x = 6,
265. x = 15,
266. x = 9,
267. x = 9/2,
268. x = 10,
269. x = 1,
270. x = դատարկ բազմություն,
271. x = 10/3,
272. x = 4/3,
273. x = 6,
274. Դատարկ բազմություն,
275. Դատարկ բազմություն,
276. x =7,
277. Դատարկ բազմություն,
278. x = 10,
279. Դատարկ բազմություն,
280. x = 3/4.